等差和等比数列的求和公式

在数学中，数列是按照一定规律排列的一组数。其中，等差数列和等比数列是最常见的两种数列类型，它们的求和公式在实际问题中应用广泛。本文将对这两种数列的求和公式进行总结，并通过表格形式清晰展示其区别与应用。

一、等差数列的求和公式

等差数列是指每一项与前一项的差为常数的数列。这个常数称为公差，记作 $ d $。设首项为 $ a_1 $，末项为 $ a_n $，项数为 $ n $，则其通项公式为：

$$

a_n = a_1 + (n - 1)d

$$

等差数列的前 $ n $ 项和公式为：

$$

S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)

$$

或等价地表示为：

$$

S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d

$$

该公式适用于已知首项、公差和项数时计算总和。

二、等比数列的求和公式

等比数列是指每一项与前一项的比为常数的数列。这个常数称为公比，记作 $ r $。设首项为 $ a_1 $，末项为 $ a_n $，项数为 $ n $，则其通项公式为：

$$

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

$$

等比数列的前 $ n $ 项和公式为：

$$

S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad (r \neq 1)

$$

当公比 $